Website auf neue Domain umleiten und Website überprüfen.

Ich komme mit dem Strato Kundenservice nicht weiter. Ich habe eine zweite Domain gekauft und möchte meine Website dorthin umziehen. Strato hat meine alte Website mit meiner neuen Website verknüpft. Wenn man googelt, landet man auf der neuen Seite, aber mit dem alten Namen darüber, was nicht ideal ist. Aber wenn man die Webadresse eingibt, landet man auf einer Seite, die besagt, dass sie nicht sicher ist. 
Ich habe ein Backup erstellt, bei dem ich zweifle, ob es richtig funktioniert hat.
Meine Bitte ist, die Website unter dem neuen Namen richtig zum Laufen zu bringen und sie einmal gründlich zu überprüfen
wie Updates und Plugins zu überprüfen.

Zusätzliche Fragen:

Website darf auf Basis eines Templates entwickelt werden.: Nein
Bestehende Website muss erneuert werden.: Nein
Domainname und Webhosting sind nicht erforderlich.: Nein
Die Möglichkeit für einen Blog muss vorhanden sein.: Nein